Primzahllückenuntersuchung Karl O. Peschke

Primzahllücken und deren Untersuchung bis Primzahl 1.000.003 bzw. 3.000.017

Zusammenfassung: Bestimmte Primzahllückenkombinationen sind nicht möglich. Einige Primzahllückenkombinationen kommen nicht vor.
Andere Primzahllückenkombinationen kommen sehr selten vor. Diese Tatsachen ermöglichen eine effizientere Primzahlsuche.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.
Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl größer als eins, die nur durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar ist.

Die kleinsten Primzahlen unter 100 sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 .

1) D.h. bis auf die Zahl 2 sind alle Primzahlen ungerade, d.h. es gilt : Primzahl p = 2n+1 mit n ∈ ℕ.
Beweis durch Widerspruch: Ohne Java-Script öffnen

Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen.
Die ersten Primzahllücken bis 100 sind:

Primzahlen	2		3		5		7		11		13		17		19		23		29		31		37		41		43		47		53		59		61		67		71		73		79		83		89		97
Lückenlängen		1		2		2		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		6		6		2		6		4		2		6		4		6		8

Größte Primzahl- lücke	bis Primzahl	ist zwischen Primzahl	und Primzahl	Primzahllücken- mittelwert im Abschnitt
114	1.000.003	492.113	492.227	12,74
132	2.000.003	1.357.201	1.357.333	14,20
132	2.000.003	1.561.919	1.562.051	"
148	3.000.017	2.010.733	2.010.881	14,73

Die allgemein größten Primzahllücken, die bisher gefunden wurden, sind auf der Webseite von Chris K. Caldwell zu finden (Achtung die Lücken sind hier -1 dargestellt!).

2) D.h. bis auf die erste Primzahllücke sind alle folgenden gerade, d.h. es gilt : Primzahllücke λ = 2n mit n ≥ 1 ∈ ℕ, wenn λ nicht die Primzahllücke zwischen 2 und 3 ist.
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In der obigen Aufzählung der Primzahllücken ist nach der Lücke 1, die nach 2) sonst nicht vorkommen kann,
die aufeinanderfolgenden Primzahllücken 2 und 2 zu finden.

3) Auch diese Kombination zweier aufeinanderfolgender Primzahllücken ist nur hier vorhanden und kann sonst nicht vorkommen.

Dies lässt sich sogar verallgemeinern zu :
Es sind keine aufeinanderfolgenden Primzahllückenkombinationen gerader Zahlen der Klassen 2mod3 mit 2mod3 für Primzahlen größer 3 möglich.
(Mit Klasse sind hier und im Folgenden die Restklassen bez. der Division wie in der Zahlentheorie gemeint.)
Es gibt also beispielweise keine aufeinanderfolgenden Primzahllückenkombinationen
2 und 2 oder 2 und 8 oder 8 und 8 oder 2 und 14 u.s.w. für Primzahlen größer 3.

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4) Es sind weiter auch keine aufeinanderfolgenden Primzahllückenkombinationen gerader Zahlen der Klassen 1mod3 mit 1mod3 möglich.
Es gibt also beispielweise keine aufeinanderfolgenden Primzahllückenkombinationen
4 und 4 oder 4 und 10 oder 10 und 10 oder 10 und 16 u.s.w.

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Aufeinanderfolgende Primzahllückenkombinationen mit geraden Zahlen der Klasse 0mod3 mit 0mod3 sind möglich,
wie z.B. die drei aufeinanderfolgenden Primzahlen 47, 53, 59 beweisen.

5) Untersucht man aber dreifache aufeinanderfolgende Primzahllückenkombinationen, so ergeben sich zwei weitere Kombinationen,
die nicht möglich sind und die wir noch nicht untesucht haben.
Dies sind die Lückenkombinationen der geraden Zahlen der Klassen 2mod3, 0mod3, 2mod3 und 1mod3, 0mod3, 1mod3.

Beweis durch Widerspruch für 1mod3, 0mod3, 1mod3 : Ohne Java-Script öffnen

Beweis durch Widerspruch für 2mod3, 0mod3, 2mod3 : Ohne Java-Script öffnen

Da die Klassen 0mod3 ein neutrales Element hinsichtlich der Addition sind, wie in der Zahlentheorie bewiesen wurde, kann die Aussage in 5) auch auf
längere Primzahllückenkombinationen als drei Lücken ausgedehnt werden. Es kann also z.B. keine Primzahlfolgen geben,
die Primzahllückenkombinationen der Art 2mod3,0mod3, ... ,0mod3,2mod3 oder 1mod3,0mod3, ... ,0mod3,1mod3 besitzen.
... steht dabei für eine Folge von geraden Zahlen der 0mod3-Klasse.
6) Weitere nicht mögliche Kombinationen

Weitere interessante Ergebnisse aus der Untersuchung sind, dass es zahlreiche Primzahllückenkombinationen gibt, die zwar als Klasse von Zahlen mod3 sehr häufig sind,
deren kleinster "Prototyp" aber innerhalb der Primzahlen bis 3.000.017 nicht existiert.
(Als "Prototyp" werden hier diejenigen Primzahllückenkombinationen bezeichnet, die nur aus den Längen 2, 4 und 6 bei mod3-Untersuchungen und aus den Längen 2, 4, 6 und 8 bei mod5-Untersuchungen bestehen)

So existieren zwar alle "Prototypen" aus den 3er-Kombinationen, aber schon die Viererkombination 6/2/4/2 der Primzahllücken ist zwischen den Primzahlen bis 3.000.017
nicht zu finden, während es in der Klassenuntersuchung mod3, d.h. Lückenkombinationen gerader Zahlen der Klassen 0mod3/2mod3/1mod3/2mod3
(also z.B. 6/8/4/2) insgesamt 3177 Vorkommen gibt.
Gleiches gilt z.B. für 2/4/2/6 (3146 mod3-Vorkommen) oder 6/6/2/4 (2123 mod3-Vorkommen).

Hier hilft eine Untersuchung der mod5-Klassen, um festzustellen, dass auch diese, sowie z.B. die 4/2/6/6- und die 6/6/6/6-Kombination nicht möglich sind.

Es sind also keine fünf aufeinanderfolgende Primzahlen mit Lücken möglich, die nacheinander folgenden Zahlen der mod5-Klassen entsprechen:

mod5-Klassen	Prototyp	Lückenkombi-	nationsbeispiele	Beweis	Schliessen	Ohne JS öffnen
1/2/4/2	6/2/4/2	16/12/4/2	6/2/14/22			Ohne Java-Script öffnen
2/2/2/2	2/2/2/2	2/12/2/12	12/2/12/2			Ohne Java-Script öffnen
2/2/4/3	2/2/4/8	2/12/4/18	12/2/14/8			Ohne Java-Script öffnen
2/4/2/1	2/4/2/6	2/4/14/16	12/2/14/26			Ohne Java-Script öffnen
2/4/3/4	2/4/8/4	12/4/8/14	22/4/18/4			Ohne Java-Script öffnen
2/1/1/2	2/6/6/2	12/16/16/12	22/6/6/22			Ohne Java-Script öffnen
2/1/3/3	2/6/8/8	12/16/18/18	2/6/8/18			Ohne Java-Script öffnen
4/2/2/4	4/2/2/4	14/2/2/14	4/12/12/4			Ohne Java-Script öffnen
4/2/1/1	4/2/6/6	14/12/16/16	4/2/26/16			Ohne Java-Script öffnen
4/4/4/4	4/4/4/4	14/14/14/14	4/14/24/34			Ohne Java-Script öffnen
4/4/3/1	4/4/8/6	14/14/8/16	4/14/8/16			Ohne Java-Script öffnen
4/3/4/2	4/8/4/2	4/18/4/12	14/8/14/2			Ohne Java-Script öffnen
4/3/1/3	4/8/6/8	4/18/6/18	14/18/16/18			Ohne Java-Script öffnen
1/2/1/3	6/2/6/8	6/12/6/18	16/2/16/8			Ohne Java-Script öffnen
1/1/2/4	6/6/2/4	16/26/2/4	6/6/12/14			Ohne Java-Script öffnen
1/1/1/1	6/6/6/6	16/26/16/26	6/16/16/6			Ohne Java-Script öffnen
1/3/4/4	6/8/4/4	6/8/14/24	16/18/14/4			Ohne Java-Script öffnen
1/3/3/1	6/8/8/6	16/8/8/16	6/18/18/6			Ohne Java-Script öffnen
3/4/2/2	8/4/2/2	8/14/22/32	18/14/12/2			Ohne Java-Script öffnen
3/4/4/3	8/4/4/8	8/14/14/8	18/4/4/18			Ohne Java-Script öffnen
3/1/2/1	8/6/2/6	8/16/12/16	18/6/12/16			Ohne Java-Script öffnen
3/1/3/4	8/6/8/4	8/16/18/4	18/6/8/14			Ohne Java-Script öffnen
3/3/1/2	8/8/6/2	8/18/16/2	18/28/36/42			Ohne Java-Script öffnen
3/3/3/3	8/8/8/8	8/18/28/38	18/8/8/18			Ohne Java-Script öffnen

Siehe dazu ebenfalls die Zusammenfassung (Tabs zum Wechseln der Seiten befinden sich unten)
Diese nicht möglichen Kombinationen können bei der Suche einer neuen folgenden Primzahl ausgeschlossen werden.

Untersuchungsergebnisse der Primzahllückenkombinationen (bis 7er-Kombination) bis Primzahl 1.000.003 :

Siehe dazu die Zusammenfassung (Tabs zum Wechseln der Seiten befinden sich unten)

Häufigkeiten

Bei Untersuchungen bis zur Primzahl 1.000.003 hat sich gezeigt, dass die Primzahllückenkombinationen, die nur gerade Zahlen der
1mod3- und 2mod3-Klassen enthalten (also keine geraden Zahlen der 0mod3-Klassen beinhalten) am häufigsten sind.

Generell ergab sich, dass je mehr gerade Zahlen der 0mod3-Klasse in einer Kombination enthalten sind, desto geringer war die Häufigkeit der entsprechenden Kombination.
Also sollten bei der Primzahlsuche die Kombinationen bevorzugt werden, die erstmal keine 0mod3-Klassen gerader Zahlen beinhalten.
Und danach erst Kombinationen in der Reihenfolge des minimalen Vorkommens von geraden Zahlen der 0mod3-Klasse.

Eine Ausnahme bildet die Kombination, die nur aus 0mod3-Klassen bestand:
2er Kombination : Am 3.-häufigsten von 7 möglichen Kombinationen
3er Kombination : Am 9.-häufigsten von 15
4er Kombination : Am 5.-letzten von 31
5er Kombination : Am 3.-letzten von 63
6er Kombination : Am letzten von 127
7er Kombination : Am 3.-letzten von 255

Gleiche Häufigkeiten

Weiter war auffallend, dass ab den 3er-Kombinationen, die Kombinationen
0mod3,0mod3,...,2mod3 und 1mod3,0mod3,0mod3,.... immer exakt gleich häufig sind.
Ebenso waren exakt gleich häufig die Kombinationen 2mod3,0mod3,0mod3,... und 0mod3,0mod3,...,1mod3.
Alle vier Kombinationstypen bilden aber, evtl. zusammen mit der Kombination, die nur aus 0mod3-Klassen besteht, das Schlusslicht in der Häufigkeit.

Singuläre "Prototyp"-Kombinationen bis zur Primzahl 3.000.017

5er-Kombinationen

Die zulässige 5er-Primzahllückenkombination 2/4/2/4/2 kommt bis zur Primzahl 3.000.017 genau einmal vor, nämlich ganz am Anfang ab der Primzahl 5.
Die entsprechende Modulo 3-Kombination gerader Zahlen 2mod3/1mod3/2mod3/1mod3/2mod3 als Primzahllücken kommt bis zur Primzahl 1.000.003 allerdings 2380 mal vor.

6er-Kombinationen

Ebenso sind unter den 6er-Kombinationen nur einmal bis zur Primzahl 3.000.017 vorhanden:

Kombination	existiert 1x ab Primzahl	= mod3 =>	Anzahl bis 1.000.003
2/4/2/4/2/4	5	2/1/2/1/2/1	1.370
4/2/4/2/4/6	7	1/2/1/2/1/0	1.102
4/2/4/6/6/2	37	1/2/1/0/0/2	788
6/4/6/2/4/6	678.631	0/1/0/2/1/0	635
6/4/6/6/6/2	351.031	0/1/0/0/0/2	428

7er-Kombinationen

Folgende sind nur einmal bis zur Primzahl 3.000.017 vorhanden:

Kombination	existiert 1x ab Primzahl	= mod3 =>	Anzahl bis 1.000.003
6/6/6/2/6/6/6	344.231	0/0/0/2/0/0/0	128
6/6/4/6/2/6/4	246.907	0/0/1/0/2/0/1	282
6/6/4/2/4/6/2	198.811	0/0/1/2/1/0/2	323
6/6/2/6/6/6/4	344.237	0/0/2/0/0/0/1	181
6/6/2/6/4/6/2	51.407	0/0/2/0/1/0/2	281
6/6/2/6/4/2/6	47	0/0/2/0/1/2/0	282
6/4/2/4/6/6/2	31	0/1/2/1/0/0/2	339
6/2/6/6/4/2/4	603.893	0/2/0/0/1/2/1	379
6/2/6/4/6/6/6	357.653	0/2/0/1/0/0/0	170
4/6/6/2/6/6/6	652.723	1/0/0/2/0/0/0	175
4/6/6/2/6/6/4	302.563	1/0/0/2/0/0/1	308
4/6/6/2/6/4/6	41.593	1/0/0/2/0/1/0	330
4/6/2/6/6/4/6	135.589	1/0/2/0/0/1/0	288
4/6/2/6/4/6/6	357.649	1/0/2/0/1/0/0	250
4/6/2/4/6/2/6	1.597	1/0/2/1/0/2/0	399
4/2/4/6/6/2/6	37	1/2/1/0/0/2/0	369
4/2/4/2/4/6/2	7	1/2/1/2/1/0/2	646
2/6/4/6/2/6/4	229.751	2/0/1/0/2/0/1	443
2/6/4/2/6/4/6	59	2/0/1/2/0/1/0	416
2/4/6/6/2/6/4	41	2/1/0/0/2/0/1	380
2/4/2/4/6/2/6	11	2/1/2/1/0/2/0	466
2/4/2/4/2/4/6	5	2/1/2/1/2/1/0	631

Auffällig bei allen diesen einmaligen Kombinationen ist, dass sie alle bereits bis zur Primzahl 678.631 vorkommen.
Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass sie nach der Primzahl 3.000.017 nochmals vorkommen könnten.
Da die durchschnittliche Primzahllückenlänge aber umso größer ist, je größer die Primzahlen sind, ist
das eher unwahrscheinlich, da wir es ja hier mit Kombinationen der drei kleinsten möglichen Längen zu tun haben.
Diese zwar existenten, aber sehr seltenen Kombinationen könnten bei der Suche einer neuen folgenden Primzahl erst dann verwendet werden,
wenn die möglichen, aber häufigeren Kombinationen nicht zu einer neuen Primzahl geführt haben.

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Version 1.0 vom 1.8.2015 Webseiten copyright und Autor : Dipl.-Math. Karl O. Peschke