Beweis, dass Primzahllückenkombinationen 2mod3 mit 0mod3 mit 2mod3 nicht möglich sind.

p, q, r, s seien Primzahlen größer 5. λ, μ und ν seien die Primzahllücken für
p + λ = q, q + μ = r und r + ν = s.
Angenommen λ und ν seien beide gerade Zahlen der Klasse 2mod3, ergäben also den Rest 2 bei Teilung durch 3
und μ sei eine gerade Zahl der Klasse 0mod3, sei also durch drei teilbar.

Die Primzahl p kann nur eine ungerade Zahl der Klasse 1mod3 oder 2mod3 sein. Wäre sie eine ungerade Zahl der Klasse 0mod3 dann wäre sie durch 3 teilbar und damit keine Primzahl.

Fall a) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 2mod3. Dann ist p + λ = q oder 2mod3 + 2mod3 = 4mod3 = 1mod3 = q.
Weiter ist q + μ = r oder 1mod3 + 0mod3 = 1mod3 = r. Die nächste Primzahl würde sich dann folgendermassen berechnen lassen:
r + ν = s oder 1mod3 + 2mod3 = 3mod3 = 0mod3 = s .
Da s aber eine Primzahl ist, kann sie nicht eine ungerade Zahl der Klasse 0mod3 sein und damit ist der Fall a) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 2mod3 sein. wenn λ und ν gerade Zahlen der Klasse 2mod3 sind und μ eine gerade Zahl der Klasse 0mod3 ist.

Fall b) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 1mod3. Dann ist p + λ = q oder 1mod3 + 2mod3 = 3mod3 = 0mod3 = q.
Da q aber eine Primzahl ist, kann sie nicht eine ungerade Zahl der Klasse 0mod3 sein und damit ist der Fall b) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 1mod3 sein, wenn λ eine gerade Zahl der Klasse 2mod3 ist.

Beide Fälle ergeben also einen Widerspruch. Es sind damit keine vier aufeinanderfolgenden Primzahlen mit
Lücken möglich, die nacheinander geraden Zahlen der Klassen 1mod3, 0mod3 und 1mod3 entsprechen.■